Hexágono Dorado de la Patagonia (10 Centavos- Argentina)
en marcos PatagoniaMath
Para incentivar:
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Hexágono Dorado de la Patagonia (10 Centavos- Argentina) |
Adecuado para: 14 o más años
Equipamiento:
papel / lápiz / compás / cuadrados
/ calculadora / computadora / marcos PatagoniaMath
Teorema
Para cualquier objeto de sección circular, el mismo número puede agruparse en una hexágono regular compacto de objetos de lado x, o en una grilla cuadrada de objetos de lado y, siempre que se cumpla la siguiente ecuación, con x e y enteros
y
2 =3x2 - 3x + 1 el menor número de objetos que pueden empaquetarse en cualquiera de estas formas es 169.
De todos los números del 1 al 1000000000000000000 (1018 ) existen solamente 7 que cumplen la misma propiedad. Son los siguientes:
| número | (lado del cuadrado) | (lado del hexágono) |
| 169 | 13 | 8 |
| 32761 | 181 | 105 |
| 6355441 | 2521 | 1458 |
| 1232922769 | 35113 | 20273 |
| 239180661721 | 489061 | 282360 |
| 46399815451081 | 6811741 | 3932761 |
| 9001325016847969 | 894875313 | 54776288 |
El mismo número de objetos menos un número menos de la serie ó 1, puede acomodarse en un hexágono regular o en un cuadrado con un orificio de forma hexagonal regular o cuadrada en el medio: por ejemplo, 168 o 9001325016847969 - 46399815451081 ej 8954925201396888.
Antecedentes y cálculo
La ecuación de arriba se derivó de primeros principios a partir del juego con monedas en la Patagonia en el 2000. Los números mayores a 169 se obtuvieron con ayuda de una planilla de cálculo Excel . El el 2000 Junio 28 estos primeros siete números fueron enviados a NJA (Neil) Sloane para explorar la posibilidad de incluirlos en su prestigiosa Enciclopedia de Secuencias que se halla en el server de ATT. También se envió un email a Steven Finch de Mathsoft preguntándole si tenía conocimiento de que la serie hubiera sido publicada anteriormente. Como resultado del intercambio de correspondencia en el que nos enteramos de que Martin Gardner había hecho referencia a esta serie de números en su libro "Time Travel and other Mathematical Bewilderments" (Freeman NY 1988), la serie ahora ha sido expandida y varios números subsiguientes que probablemente no se hayan publicado hasta ahora han sido enviados a internet (2000-07-04).
A las 0800 hrs del día siguiente (2000-07-05) obtuvimos una fotocopia del Capítulo Dos del libro de Gardner de la biblioteca de la Universidad de Brunel en Londres. El capítulo titulado "Hexágonos y Estrellas" estaba muy bien escrito e ilustrado.
Este libro es de lectura esencial para todos los interesados en los patrones matemáticos. La matemática subyacente en la serie está allí, junto con la ecuación que se muestra arriba. Es gratificante el hecho de que el juego con monedas pueda llevar a conclusiones y diagramas similares. Agradecemos por sus contribuciones a Martin Gardner, a Neil, Steven y a Brunel. Se publicará más información aquí una vez que se hayan chequeado los derechos de autor con los editores. Estas y otras propiedades "mágicas" del 168 - 169 y de los números asociados con el "Hexágono Dorado de la Patagonia" y la serie Cuadrado- hexágono están siendo utilizadas en el desarrollo de juegos y herramientas de enseñanzaver www.research.att.com/~njas/sequences (A 001570, A001922, A006051)
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